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Séminaires et Congrès - Parutions - 20 (2010) 163-192

Parutions < 20

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Yves Lacroix, Pierre Liardet, Jean-Paul Thouvenot, éds.
Séminaires et Congrès 20 (2010), xxii+266 pages
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Présentation, Sommaire

Infinite Convolution of Bernoulli Measures, PV numbers and related problems in the dynamics of Fractal Geometry
Eric Olivier, Alain Thomas
Séminaires et Congrès 20 (2010), 163-192
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Résumé :
Problèmes de dynamique liés à la géométrie fractale de certaines convolution d'une infinité de mesures de Bernoulli en base de Pisot-Viraraghavan
Le cas d'égalité entre la dimension de Minkowski et la dimension de Hausdorff du graphe des fonctions à la Weierstrass, demeure toujours mystérieux. Cependant, des progrès significatifs ont été réalisés pour certains graphes autoaffines: par exemple, pour les fonctions de Rademacher, Przytycki Urbański, montrent comment cette question est liée à l'arithmétique des nombres de Pisot-Vijayaraghavan (PV): on retrouve alors un problème d'Erdős sur certaines convolutions d'une infinité de mesures de Bernoulli (convolutions de Bernoulli). Une question attenante est de comprendre la structure multifractale de la mesure d'Erdős i.e. la convolution de Bernoulli associée au nombre d'or: de ce point de vue, nous répondons à une question posée par Sidorov et Vershik à propos de la nature gibbsienne de la mesure d'Erdős invariante.

Mots-clefs : -numération, nombre d'or, convolutions de Bernoulli, mesure d'Erdős, mesures de Gibbs et faiblement gibbsiennes, géométrie fractale, dimension de Hausdorff

Abstract:
The case of equality between the Minkowski and Hausdorff dimension for the graphs of Weierstrass-like functions, remains largely mysterious. However significant progresses have been obtained when the graph is self-affine: for instance the analysis of the limit Rademacher function by Przytycki Urbański shows how this question is concerned with the arithmetics of the Pisot-Vijayaraghavan (PV) numbers and an Erdős problem about the so-called Infinite Convolution Bernoulli Measures (ICBMs). A related question is to understand the fine multifractal/dynamical structures of the special ICBM associated with the golden number and called the Erdős measure: from this point of view, we answer a question of Sidorov and Vershik about the Gibbs nature of the invariant Erdős measure.

Keywords: -numeration, golden number, Bernoulli convolutions, Erdős measure, Gibbs and weak Gibbs measures, fractal geometry, Hausdorff dimension

Class. math. : 28A12, 11A67, 15A48


ISBN : 978-2-85629-312-6
ISSN : 1285-2783

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