Catalogue et commandes en ligne (paiement sécurisé, VISA ou MASTERCARD uniquement)

Revues disponibles par abonnement

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Séries de livres

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Série Chaire Jean Morlet

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Fascicules « Journée Annuelle »

Autres livres

Donald E. Knuth - traductions françaises

Rééditions du Séminaire Nicolas Bourbaki

Rééditions des Œuvres de Jean Leray

Revue de l'Institut Elie Cartan

Editions électroniques

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

Plus d'information / Abonnement

Publications grand public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

Pour les auteurs

Soumission des manuscrits

Formats et documentation

Plus d'info

Liste de diffusion électronique (smf.emath.fr)

Information pour les libraires et diffuseurs (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Votre numéro IP : 3.235.181.103
Accès aux édit. élec. : SémCong

Séminaires et Congrès

Présentation de la publication

Parutions

Dernières parutions

Comité de rédaction / Secrétariat

Volume :

Faire une recherche


Catalogue & commande

Séminaires et Congrès - Parutions - 20 (2010) 207-251

Parutions < 20

École de théorie ergodique
Yves Lacroix, Pierre Liardet, Jean-Paul Thouvenot, éds.
Séminaires et Congrès 20 (2010), xxii+266 pages
Acheter l'ouvrage
Présentation, Sommaire

Recherche de mesures invariantes pour l'action conjointe d'un automate cellulaire et du décalage
Mathieu Sablik
Séminaires et Congrès 20 (2010), 207-251
Télécharger le document

Résumé :
Soit A un alphabet fini; un automate cellulaire peut être défini comme une fonction continue F:A^ZA^Z qui commute avec le décalage . On se propose de caractériser les mesures de probabilité sur A^Z, invariantes pour la NZ-action définie par le couple (F,). On s'intéresse tout d'abord aux conditions imposées par la dynamique directionnelle introduite dans [25] sur les mesures (F,)-invariantes. Pour la classe des automates cellulaires qui ont un cône d'expansivité, on s'aperçoit qu'intervient une certaine rigidité des mesures (F,)-invariantes. Cela signifie qu'il y a des contraintes sur ces mesures, notamment un lien entre l'entropie métrique de F et l'entropie métrique de . On étudie en particulier la classe des automates cellulaires algébriques. L'étude de cette classe rappelle la conjecture de Furstenberg [7] qui énonce en particulier que les seules mesures invariantes suivant la multiplication par 2 et par 3 sur le tore sont la mesure de Lebesgue et les mesures uniformément portées par les orbites (F,)-périodiques.

Mots-clefs : Automate cellulaire, mesure invariante, problème de rigidité, dynamiques directionnelles

Abstract:
Characterizing invariant measures for the simultaneous action of a cellular automaton and the shift
Let A be a finite alphabet; a cellular automata can be defined as a continuous function F:A^ZA^Z which commutes with the shift on A^Z. We consider the NZ-action induced by (F,) and are interested in search of (F,)-invariant probability measures. First, we are interested in the properties of (F,)-invariant measures induced by the directional dynamic introduced in [25]. For the class of cellular automata with an expansive cone, there is a phenomenon of rigidity for (F,)-invariant measures. This means that, in this case, there are constraints on (F,)-invariant measures, in particular a link between the metric entropy of F and the metric entropy of . More precisely, we study the class of algebraic cellular automata. This study recall the Furstenberg's conjecture [7] which aims is to characterize all probability measures on the torus, invariant under multiplication by two coprime integers.

Keywords: Cellular automata, invariant measure, rigidity problem, directional dynamics

Class. math. : 37B15, 28D05, 28D20


ISBN : 978-2-85629-312-6
ISSN : 1285-2783

Bibliographie:

1
Arnaudiès, J.-M. and Bertin, J.
Groupes, Algèbres et Géométrie, Tome I
Ellipses, 1993
2
Atkinson, G.
Recurrence of co-cycles and random walks
J. London Math. Soc. 13 (1976) 486–488
3
Coven, E. M. and Paul, M. E.
Endomorphisms of irreducible subshifts of finite type
Math. Syst. Theory 8 (1974/75) 167–175
4
Denker, M. and Grillenberger, C. and Sigmund, K.
Ergodic theory on compact spaces
Lecture Notes in Math., vol. 527, Springer, 1976
5
Einsiedler, M.
Isomorphism and measure rigidity for algebraic actions on zero-dimensional groups
Monatsh. Math. 144 (2005) 39–69
6
Ferrari, P. A. and Maass, A. and Martnez, S. and Ney, P.
Cesàro mean distribution of group automata starting from measures with summable decay
Ergodic Theory Dynam. Systems 20 (2000) 1657–1670
7
Furstenberg, H.
Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in Diophantine approximation
Math. Syst. Theory 1 (1967) 1–49
8
Gilman, R. H.
Classes of linear automata
Ergodic Theory Dynam. Systems 7 (1987) 105–118
9
Hedlund, G. A.
Endormorphisms and automorphisms of the shift dynamical system
Math. Syst. Theory (1969) 320–375
10
Host, B. and Maass, A. and Martínez, S.
Uniform Bernoulli measure in dynamics of permutative cellular automata with algebraic local rules
Discrete Contin. Dyn. Syst. 9 (2003) 1423–1446
11
Kitchens, B. P.
Expansive dynamics on zero-dimensional groups
Ergodic Theory Dynam. Systems (1987) 249–261
12
Kurka, P.
Languages, equicontinuity and attractors in cellular automata
Ergodic Theory Dynam. Systems 17 (1997) 417–433
13
Kurka, P. and Maass, A.
Limit sets of cellular automata associated to probability measures
J. Stat. Phys. 100 (2000) 1031–1047
14
Ledrappier, F.
Un champ markovien peut être d'entropie nulle et mélangeant
C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A-B 287 (1978) A561–A563
15
Lind, D. A.
Applications of ergodic theory and sofic systems to cellular automata
Phys. D 10 (1984) 36–44
16
Maass, A. and Martínez, S.
On Cesàro limit distribution of a class of permutative cellular automata
J. Stat. Phys. 90 (1998) 435–452
17
Milnor, J.
On the entropy geometry of cellular automata
Complex Systems 2 (1988) 357–385
18
Nasu, M.
Textile systems for endomorphisms and automorphisms of the shift
Mem. Amer. Math. Soc. 114 (1995)
19
Pivato, M.
Invariant measures for bipermutative cellular automata
Discrete Contin. Dyn. Syst. 12 (2005) 723–736
20
Pivato, M. and Yassawi, R.
Limit measures for affine cellular automata
Ergodic Theory Dynam. Systems 22 (2002) 1269–1287
21
Pivato, M. and Yassawi, R.
Limit measures for affine cellular automata. II
Ergodic Theory Dynam. Systems 24 (2004) 1961–1980
22
Rudolph, D. J.
2 and 3 invariant measures and entropy
Ergodic Theory Dynam. Systems 10 (1990) 395–406
23
Sablik, M.
Étude de l'action conjointe d'un automate cellulaire et du décalage: Une approche topologique et ergodique
Thèse, Université de la Méditerranée (2006) Mathématiques et Fondements de l'Informatique
24
Sablik, M.
Measure rigidity for algebraic bipermutative cellular automata
Ergodic Theory Dynam. Systems 27 (2007) 1965–1990
25
Sablik, M.
Directional dynamics for cellular automata: A sensitivity to initial condition approach
Theoret. Comput. Sci. (2008) 1–18
26
Schmidt, K.
Dynamical systems of algebraic origin
Progress in Math., vol. 128, Birkhäuser, 1995
27
Shereshevsky, M. A.
Lyapunov exponents for one-dimensional cellular automata
J. Nonlinear Sci. 2 (1992) 1–8
28
Silberger, S.
Subshifts of the three dot system
Ergodic Theory Dynam. Systems 25 (2005) 1673–1687
29
Tisseur, P.
Cellular automata and Lyapunov exponents
Nonlinearity 13 (2000) 1547–1560
30
Walters, P.
An introduction to ergodic theory
Grad. Texts in Math., vol. 79, Springer, 1982
31
Willson, S. J.
On the ergodic theory of cellular automata
Math. Syst. Theory 9 (1975) 132–141