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Séminaires et Congrès - Titles - 26 (2013) 181-222

Titles < 26

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Loday, Jean-Louis and Vallette, Bruno, eds
Séminaires et Congrès 26 (2013), 281 pages
Presentation, Summary

Renormalization and computation I: Motivation and background
Yuri I. Manin
Séminaires et Congrès 26 (2013), 181-222

Résumé :
Renormalisation et Calcul I : Motivation et Fondation
Les principales quantités observables en théorie quantique des champs, les fonctions de corrélations, s'expriment à l'aide des célèbres intégrales de chemins de Feynman, lesquelles ne sont pas des objets bien définis mathématiquement. Le formalisme de la perturbation interprète de telles intégrales comme des séries formelles d'intégrales, de dimension finie, mais surtout divergentes, indicées par des graphes de Feynman, dont la liste est donnée par le lagrangien de la théorie considérée. La théorie de la renormalisation est un moyen de ``soustraire'', de manière systématique, ``des quantités infinies'' de ces termes divergents pour produire une série asymptotique pour les fonctions de corrélation quantiques. D'un autre côté, les graphes, traités comme des ``diagrammes de flot'', forment aussi un squelette combinatoire pour la théorie de la calculabilité et pour des formalismes divers d'opérades en algèbre abstraite. Dans ce rôle de descriptions de différentes (classes de) fonctions calculables, telles que les fonctions récursives, les fonctions calculables par une machine de Turing à oracles etc., les graphes peuvent être utilisés pour remplacer les formalismes à consonance linguistique, comme le -calcul de Church et divers langages de programmation. Les fonctions en question ne sont en général pas définies partout à cause de la présence potentielle de boucles infinies et/ou de la nécessité de rechercher dans une meule de foin une aiguille qui n'existe peut-être pas. Dans ce papier, nous prétendons que de telles infinités dans la théorie classique de la calculabilité peuvent être étudiées de la même manière que les divergences de Feynman, et que des versions intéressantes de renormalisation peuvent être introduites dans ce contexte. On aborde aussi les liens avec le calcul quantique.

Mots-clefs : Méthodes de renormalisation perturbatives, diagrammes de flux et de programmation, opérades.

Abstract:
The main observable quantities in Quantum Field Theory, correlation functions, are expressed by the celebrated Feynman path integrals which are not well defined mathematical objects. Perturbation formalism interprets such an integral as a formal series of finite–dimensional but divergent integrals, indexed by Feynman graphs, the list of which is determined by the Lagrangian of the theory. Renormalization is a prescription that allows one to systematically ``subtract infinities'' from these divergent terms producing an asymptotic series for quantum correlation functions. On the other hand, graphs treated as ``flowcharts'', also form a combinatorial skeleton of the abstract computation theory and various operadic formalisms in abstract algebra. In this role of descriptions of various (classes of) computable functions, such as recursive functions, functions computable by a Turing machine with oracles etc., graphs can be used to replace standard formalisms having linguistic flavor, such as Church's –calculus and various programming languages. The functions in question are generally not everywhere defined due to potentially infinite loops and/or necessity to search in an infinite haystack for a needle which is not there. In this paper I argue that such infinities in classical computation theory can be addressed in the same way as Feynman divergences, and that meaningful versions of renormalization in this context can be devised. Connections with quantum computation are also touched upon.

Keywords: Perturbative renormalization, flowcharts and programming methods, operads

Class. math. : 68Q05, 68Q12, 68Q25.


ISBN : 978-2-85629-363-8
ISSN : 1285-2783