On-line catalogue and orders (secure paiement, VISA or MASTERCARD only)

Journals available by subscription

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Books

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Jean Morlet Chair Series

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Volumes "Journée Annuelle"

Other Books

Donald E. Knuth - French translations

Nicolas Bourbaki's seminar new edition

Jean Leray's scientific works new edition

Revue de l'Institut Elie Cartan

Electronic Editions

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

More information / Subscription

Publications for a general public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

For the authors

Submission of manuscripts

Formats and documentation

More info

Electronic distribution list (smf.emath.fr)

Information for bookselers and subscription agencies (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Your IP number: 3.239.40.250
Access to elec. publ.: SémCong

Séminaires et Congrès

Presentation of the publication

Titles

Last Titles

Editorial staff committee / Secretary

Number:

Search


Catalogue & orders

Séminaires et Congrès - Titles - 26 (2013) 223-251

Titles < 26

Operads 2009
VERSION IMPRIMEE A VENIR - PRINT VERSION NOT YET AVAILABLE
Loday, Jean-Louis and Vallette, Bruno, eds
Séminaires et Congrès 26 (2013), 281 pages
Presentation, Summary

Connes-Kreimer quantizations and PBW theorems for pre-Lie algebras
Travis Schedler
Séminaires et Congrès 26 (2013), 223-251

Résumé :
Quantification à la Connes-Kreimer et théorèmes PBW pour les algèbres pré-Lie.
Les algèbres de Hopf de Connes-Kreimer, utilisées en renormalisation, sont des exemples de procédés de quantification canoniques pour les algèbres pré-Lie. On donne une construction simple de cette quantification en utilisant l'algèbre enveloppante universelle des ``algèbres de Lie tordues'' (algèbres de Lie dans la catégorie des modules symétriques). Comme application on obtient une démonstration simple du théorème PBW (quantifié) pour les algèbres de Lie issues d'un produit pré-Lie (sur un anneau de base commutatif quelconque). Plus généralement, on observe que la quantification et le théorème de PBW s'étendent aux algèbres pré-Lie dans n'importe quelle catégorie symmétrique monoidale abélienne avec limites. On étend aussi un théorème de Stover pour les algèbres de Lie tordues connexes dans ce contexte catégorique.

Mots-clefs : Algèbres pré-Lie, théorèmes de PBW, renormalisation, Algèbres de Hopf, ``algèbres de Lie tordues'', S-modules.

Abstract:
The Connes-Kreimer renormalization Hopf algebras are examples of a canonical quantization procedure for pre-Lie algebras. We give a simple construction of this quantization using the universal enveloping algebra for so-called twisted Lie algebras (Lie algebras in the category of symmetric sequences of k-modules). As an application, we obtain a simple proof of the (quantized) PBW theorem for Lie algebras which come from a pre-Lie product (over an arbitrary commutative ring). More generally, we observe that the quantization and the PBW theorem extend to pre-Lie algebras in arbitrary abelian symmetric monoidal categories with limits. We also extend a PBW theorem of Stover for connected twisted Lie algebras to this categorical setting.

Keywords: Pre-Lie algebras, PBW theorems, renormalization, Hopf algebras, twisted Lie algebras, S-modules.

Class. math. : 17D99, 17B35.


ISBN : 978-2-85629-363-8
ISSN : 1285-2783

Bibliographie:

1
Connes, A. and Kreimer, D.
Hopf algebras, renormalization, and noncommutative geometry
Comm. Math. Phys. 199 (1998) 203–242 arXiv:hep-th/9808042
2
Chapoton, F. and Livernet, M.
Pre-Lie algebras and the rooted trees operad
Int. Math. Res. Not. 2001 (2001) 395–408 arXiv:math/0002069v2
3
Gerstenhaber, M.
The cohomology structure of an associative ring
Ann. of Math. 78 (1963) 267–288
4
Vinberg, E. B.
The theory of convex homogeneous cones
Trans. Amer. Math. Soc. 12 (1963) 340–403 translated from Trudy Moskov. Mat. Obshch. 12 (1963), 303–358
5
Oudom, J.-M. and Guin, D.
Sur l'algèbre enveloppante d'une algèbre pré-Lie
C. R. Math. Acad. Sci. Paris 340 (2005) 331–336
6
Poincaré, H.
Sur les groupes continues
Trans. Cambr. Philos. Soc. 18 (1900) 220–225
8
Oudom, J.-M. and Guin, D.
On the Lie enveloping algebra of a pre-Lie algebra
J. K-Theory 2 (2008) 147–167 arXiv:math.QA/0404457
9
Tourtchine, Victor
Dyer-Lashof-Cohen operations in Hochschild cohomology
Algebr. Geom. Topol. 6 (2006) 875–894 arXiv:math/0504017
10
Stover, C. R.
The equivalence of certain categories of twisted Lie and Hopf algebras over a commutative ring
J. Pure Appl. Algebra 86 (1993) 289–326
11
Gan, W. L. and Schedler, T.
The necklace Lie coalgebra and renormalization algebras
J. Noncommut. Geom. 2 (2008) 195–214 arXiv:math-ph/0702055
12
Schedler, T.
Twisted tensor algebras, Yang-Baxter equations, twists for Hopf algebras, and double Poisson algebras
(2006) arXiv:math.QA/0612493; revised version accepted to Contemp. Math.
13
Higgins, P. J.
Baer invariants and the Birkhoff-Witt theorem
J. Algebra 11 (1969) 469–482
14
Revoy, Ph.
Algèbres enveloppantes des formes alternées et des algèbres de Lie
J. Algebra 49 (1977) 342–356
15
Cohn, P. M.
A remark on the Birkhoff-Witt theorem
J. London Math. Soc. 38 (1963) 197–203
16
Birkhoff, G.
Representability of Lie algebras and Lie groups by matrices
Ann. of Math. 38 (1937) 526–532
17
Cartier, P.
Remarques sur le théorème de Birkhoff-Witt
Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 12 (1958) 1–4
18
Lazard, M.
Sur les algèbres enveloppantes universelles de certaines algèbres de Lie
C. R. Acad. Sci. Paris 234 (1952) 788–791
19
Lazard, M.
Sur les algèbres enveloppantes universelles de certaines algèbres de Lie
Publ. Sci. Univ. Alger. Sér. A. 1 (1954) 281–294 (1955)
20
Witt, E.
Treuer Darstellung Liescher Ringe
J. reine angew. Math. 177 (1937) 152–160
21
Širšov, A. I.
On the representation of Lie rings as associative rings
Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 8 (1953) 173–175
22
Barratt, M. G.
Twisted Lie algebras
in Geometric applications of homotopy theory (Evanston, IL, 1977)
Lecture Notes in Math. 658 (1978) 9–15
23
Joyal, André and Street, Ross
Braided tensor categories
Adv. Math. 102 (1993) 20–78
24
Joyal, André
Foncteurs analytiques et espèces de structures
in Combinatoire énumérative (Montreal, Que., 1985/Quebec, Que., 1985)
Lecture Notes in Math. 1234 (1986) 126–159
25
Schedler, T.
Poisson algebras and Yang-Baxter equations
in Advances in quantum computation (Tyler, TX, 2007)
Contemp. Math. 482 (2009) 91–106 arXiv:math/0612493
26
Fresse, B.
Cogroups in algebras over an operad are free algebras
Comment. Math. Helv. 73 (1998) 637–676
27
Ronco, M.
Shuffle bialgebras
(2007) arXiv:math/0703437v2
28
Berger, R.
The quantum Poincaré-Birkhoff-Witt theorem
Commun. Math. Phys. 143 (1992) 215–234