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Loday, Jean-Louis and Vallette, Bruno, eds
Séminaires et Congrès 26 (2013), 281 pages
Presentation, Summary

Connes-Kreimer quantizations and PBW theorems for pre-Lie algebras
Travis Schedler
Séminaires et Congrès 26 (2013), 223-251

Résumé :
Quantification à la Connes-Kreimer et théorèmes PBW pour les algèbres pré-Lie.
Les algèbres de Hopf de Connes-Kreimer, utilisées en renormalisation, sont des exemples de procédés de quantification canoniques pour les algèbres pré-Lie. On donne une construction simple de cette quantification en utilisant l'algèbre enveloppante universelle des ``algèbres de Lie tordues'' (algèbres de Lie dans la catégorie des modules symétriques). Comme application on obtient une démonstration simple du théorème PBW (quantifié) pour les algèbres de Lie issues d'un produit pré-Lie (sur un anneau de base commutatif quelconque). Plus généralement, on observe que la quantification et le théorème de PBW s'étendent aux algèbres pré-Lie dans n'importe quelle catégorie symmétrique monoidale abélienne avec limites. On étend aussi un théorème de Stover pour les algèbres de Lie tordues connexes dans ce contexte catégorique.

Mots-clefs : Algèbres pré-Lie, théorèmes de PBW, renormalisation, Algèbres de Hopf, ``algèbres de Lie tordues'', S-modules.

Abstract:
The Connes-Kreimer renormalization Hopf algebras are examples of a canonical quantization procedure for pre-Lie algebras. We give a simple construction of this quantization using the universal enveloping algebra for so-called twisted Lie algebras (Lie algebras in the category of symmetric sequences of -modules). As an application, we obtain a simple proof of the (quantized) PBW theorem for Lie algebras which come from a pre-Lie product (over an arbitrary commutative ring). More generally, we observe that the quantization and the PBW theorem extend to pre-Lie algebras in arbitrary abelian symmetric monoidal categories with limits. We also extend a PBW theorem of Stover for connected twisted Lie algebras to this categorical setting.

Keywords: Pre-Lie algebras, PBW theorems, renormalization, Hopf algebras, twisted Lie algebras, S-modules.

Class. math. : 17D99, 17B35.

ISBN : 978-2-85629-363-8
ISSN : 1285-2783

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