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Séminaires et Congrès - Titles - 26 (2013) 35-60

Titles < 26

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Loday, Jean-Louis and Vallette, Bruno, eds
Séminaires et Congrès 26 (2013), 281 pages
Presentation, Summary

Categorification of the dendriform operad
Frédéric Chapoton
Séminaires et Congrès 26 (2013), 35-60

Résumé :
Catégorification de l'opérade dendriforme
L'idée de catégorification d'une structure algébrique a déjà été appliquée avec succès par de nombreux auteurs à des algèbres associatives ou des algèbres de Hopf. On se propose ici de l'appliquer à une structure algébrique plus complexe, celle d'opérade. On tente plus spécifiquement de catégorifier l'opérade dendriforme introduite par Loday. Les groupes abéliens sous-jacents à l'opérade dendriforme sont catégorifiés par les catégories abéliennes de modules sur les algèbres d'incidence de certains ensembles partiellement ordonnés, les posets de Tamari. Les applications linéaires qui forment la structure d'opérade doivent être catégorifiées par des foncteurs entre ces catégories abéliennes. On franchit ici un première étape dans cette direction, en décrivant un foncteur qui catégorifie la première application de composition de l'opérade dendriforme. On obtient aussi des foncteurs qui catégorifient les autres applications de composition, mais seulement au prix d'un passage, sans doute superflu, aux catégories dérivées des catégories de modules.

Mots-clefs : Opérade, algèbre dendriforme, treillis de Tamari, catégorification.

Abstract:
The idea of ``categorification'' of an algebraic structure has already been applied successfully by many authors to algebras or Hopf algebras. We propose here to apply this idea to the more sophisticated algebraic notion of operad: we try to categorify the dendriform operad, which was introduced by Loday. The underlying Abelian groups of the dendriform operad are categorified by the Abelian categories of modules over the incidence algebras of some posets, usually called the Tamari posets. The linear maps that make the structure of the dendriform operad should then be categorified by functors between these Abelian categories. We make here a first step in this direction by describing a functor that categorifies the first composition map of the dendriform operad. We also obtain functors that categorify the other composition maps of the dendriform operad, but only at the prize of passing to the derived categories of the categories of modules, which is probably avoidable.

Keywords: Operad, dendriform algebra, Tamari lattice, categorification.

Class. math. : 18D50, 05C05, 06A11, 16G20.


ISBN : 978-2-85629-363-8
ISSN : 1285-2783

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