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Séminaires et Congrès - Titles - 27 (2013) 25-55

Titles < 27

Geometric and differential Galois theories
D. Bertrand, Ph. Boalch, J-M. Couveignes, P. Dèbes
Séminaires et Congrès 27 (2013), xviii + 247 pages
Presentation, Summary

Motivated cycles under specialization
Anna Cadoret
Séminaires et Congrès 27 (2013), 25-55

Résumé :
Spécialisation des cycles motivés
Cet article est une introduction à la théorie des motifs motivés purs développée par André. Nous nous intéressons plus particulièrement au problème de la spécialisation de ces motifs en caractéristique 0. Nous commençons par rappeler la construction classique des motifs purs puis nous présentons la construction des motifs purs motivés comme une variante de la construction des motifs purs homologiques où les cycles homologiques sont remplacés par les cycles motivés. En gros, les cycles motivés sont obtenus en adjoignant formellement l'involution de Lefschetz aux cycles homologiques de sorte que les conjectures dites standard deviennent vraies dans la catégorie des motifs purs motivés; en particulier, cette catégorie est une catégorie tannakienne semisimple naturellement munie de foncteurs fibres provenant des cohomologies de Weil considérées. La dernière partie de cet article est consacrée à la version -adique du théorème d'André sur la spécialisation des cyces motivés. Celui-ci peut s'énoncer comme suit. Soit k un corps de type fini et de caractéristique nulle, S un schéma de type fini sur k et M une famille de motifs motivés sur S. Alors l'ensemble des points sS(k) où le groupe de Galois motivé motivique associé à M_s dégénère est mince dans S(k). Lorsque S est une courbe, nous améliorons le résultat d'André en invoquant un théorème d'image ouverte uniforme du à A. Tamagawa et l'auteur. Nous concluons en donnant quelques applications de ce théorème de spécialisation.

Abstract:
This paper is essentially a survey of André's theory of pure motivated motives with an emphasis on specialization theory in characteristic zero. We review first the classical construction of pure motives and then turn to pure motivated motives whose construction is modeled upon the one of pure homological motives, replacing homological cycles by motivated cycles. Basically, motivated cycles are obtained from homological cycles by adjoining formally the Lefschetz involution so that the so-called standard conjectures become true in the category of pure motivated motives; in particular, this category is a semisimple Tannakian category naturally equipped with fibre functors coming from Weil cohomologies. The last section is devoted to the -adic version of André's specialization theorem for motivated cycles, which asserts that, given a family of motivated motives M over a scheme S of finite type over a finitely generated field k of characteristic 0, the locus of all sS(k) where the motivated motivic Galois group associated with M_s degenerates is thin in S(k). When S is a curve, we improve André's statement by resorting to a uniform open image theorem for -adic cohomology proved by A. Tamagawa and the author. We conclude by some applications of this specialization theorem.

Class. math. : Primary: 14C25; Secondary: 14F20, 14F42


ISSN : 1285-2783