On-line catalogue and orders (secure paiement, VISA or MASTERCARD only)

Journals available by subscription

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Books

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Jean Morlet Chair Series

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Volumes "Journée Annuelle"

Other Books

Donald E. Knuth - French translations

Nicolas Bourbaki's seminar new edition

Jean Leray's scientific works new edition

Revue de l'Institut Elie Cartan

Electronic Editions

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

More information / Subscription

Publications for a general public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

For the authors

Submission of manuscripts

Formats and documentation

More info

Electronic distribution list (smf.emath.fr)

Information for bookselers and subscription agencies (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Your IP number: 3.239.40.250
Access to elec. publ.: SémCong

Séminaires et Congrès

Presentation of the publication

Titles

Last Titles

Editorial staff committee / Secretary

Number:

Search


Catalogue & orders

Séminaires et Congrès - Titles - 27 (2013) 69-92

Titles < 27

Geometric and differential Galois theories
D. Bertrand, Ph. Boalch, J-M. Couveignes, P. Dèbes
Séminaires et Congrès 27 (2013), xviii + 247 pages
Presentation, Summary

Introduction to the Galois theory of Artinian simple module algebras
Florian Heiderich
Séminaires et Congrès 27 (2013), 69-92

Résumé :
Introduction à la théorie de Galois des algèbres de modules artiniennes simples
Nous donnons une introduction à une théorie de Galois des algèbres de modules artiniennes simples. À cet effet, nous rappelons tout d'abord les théories de Picard-Vessiot des équations différentielles ou aux différences, ainsi que la théorie de Galois différentielle d'Umemura et la théorie de Galois aux différences de Morikawa-Umemura. Nous esquissons ensuite les idées principales de l'unification, due à Amano et Masuoka, des théories de Picard-Vessiot des équations différentielles ou aux différences. Nous montrons alors comment la théorie de Galois différentielle d'Umemura et la théorie de Galois aux différences de Morikawa-Umemura peuvent être unifiées en utilisant les algèbres de modules artiniennes simples à la place, respectivement, des corps différentiels ou aux différences; de plus, nous supprimons la restriction aux corps de caractéristique nulle. Nous comparons enfin cette théorie unifiée à la théorie de Picard-Vessiot d'Amano et Masuoka, dans le cas des extensions de Picard-Vessiot d'algèbres de modules artiniennes simples.

Abstract:
We give an introduction to a Galois theory of Artinian simple module algebras. To this end, we first recall the Picard-Vessiot theories of differential and difference equations, Umemura's differential Galois theory and Morikawa-Umemura's difference Galois theory. Then we sketch the main ideas of Amano and Masuoka's unification of the Picard-Vessiot theories of differential and difference extensions. We show how the differential Galois theory of Umemura and the difference Galois theory of Morikawa-Umemura can be unified using Artinian simple module algebras in lieu of differential or difference fields, respectively, and remove the restriction to fields of characteristic 0. Finally, we compare this unified theory to the Picard-Vessiot theory of Amano and Masuoka in the case of Picard-Vessiot extensions of Artinian simple module algebras.

Keywords: Galois theory, module algebra

Class. math. : 12H05, 12H10, 13B05, 16T10, 34M15


ISSN : 1285-2783

Bibliographie:

1
Crespo, Teresa and Hajto, Zbigniew
Algebraic groups and differential Galois theory
Graduate Text in Mathematics, vol. 122, A.M.S., 2011
2
van der Put, Marius and Singer, Michael F.
Galois Theory of Linear Differential Equations
Springer, 2003
3
Hasse, Helmut and Schmidt, Friedrich Karl
Noch eine Begründung der Theorie des höheren Differentialquotienten in einem algebraischen Funktionenkörper in einer Unbestimmten
J. reine angew. Math. 177 (1937) 215–237
4
Okugawa, Kôtaro
Differential Algebra of Nonzero Characteristic
Lectures in Mathematics, vol. 16, Kinokuniya Company Ltd., 1987
5
Matzat, Bernd Heinrich and van der Put, Marius
Iterative differential equations and the Abhyankar conjecture
J. reine angew. Math. 557 (2003) 1–52
6
van der Put, Marius and Singer, Michael F.
Galois theory of difference equations
Lecture Notes in Math., vol. 1666, Springer, 1997
7
Takeuchi, Mitsuhiro
A Hopf algebraic approach to the Picard-Vessiot theory
J. Algebra 122 (1989) 481–509
8
Amano, Katsutoshi and Masuoka, Akira
Picard-Vessiot extensions of Artinian simple module algebras
J. Algebra 285 (2005) 743–767
9
Umemura, Hiroshi
Differential Galois theory of infinite dimension
Nagoya Math. J. 144 (1996) 59–135
10
Morikawa, Shuji
On a general difference Galois theory I
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 59 (2009) 2709–2732
11
Morikawa, Shuji and Umemura, Hiroshi
On a general difference Galois theory II
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 59 (2009) 2733–2771
12
13
Heiderich, Florian
Galois theory of Artinian simple module algebras
Trans. Amer. Math. Soc. to appear
14
Heiderich, Florian
Picard-Vessiot Theorie für lineare partielle Differentialgleichungen
PhD Thesis, Universität Heidelberg, Fakultät für Mathematik und Informatik (2007)
15
Umemura, Hiroshi
Galois theory and Painlevé equations
in Théories asymptotiques et équations de Painlevé
Sémin. Congr. 14 (2006) 299–339
16
Maurischat, Andreas
Infinitesimal group schemes as iterative differential Galois groups
J. Pure Appl. Algebra 214 (2010) 2092–2100
17
Malgrange, Bernard
Le groupoï de de Galois d'un feuilletage
in Essays on geometry and related topics, Vol. 1, 2
Monogr. Enseign. Math. 38 (2001) 465–501
18
Sweedler, Moss E.
Hopf algebras
Mathematics Lecture Note Series, W. A. Benjamin, Inc., New York, 1969
19
Montgomery, Susan
Hopf algebras and their actions on rings
CBMS Regional Conference Series in Mathematics, vol. 82, Amer. Math. Soc., 1993
20
Matsumura, Hideyuki
Commutative Ring Theory
Cambridge Univ. Press, 1989
21
Keigher, William F.
On the ring of Hurwitz series
Comm. Algebra 25 (1997) 1845–1859
22
Bourbaki, Nicolas
Éléments de mathématique
Lecture Notes in Math., vol. 864, Masson, 1981 Algèbre. Chapitres 4 à 7. [Algebra. Chapters 4–7]
23
Grothendieck, Alexander
Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. I
Publ. Math. I.H.É.S. (1964) 259
24
Umemura, Hiroshi
Picard-Vessiot theory in general Galois theory
preprint