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Panoramas et synthèses - Parutions - 8 (1999) 187-234

Parutions < 

Dynamique et géométrie complexes
Dominique Cerveau, Étienne Ghys, Nessim Sibony et Jean-Christophe Yoccoz  (notes rédigées par Marguerite Flexor)
Panoramas et synthèses 8 (1999), 234 pages
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Présentation, Sommaire

Dynamique des polynômes quadratiques
Dominique Cerveau, Étienne Ghys, Nessim Sibony et Jean-Christophe Yoccoz rédigées par Marguerite Flexor
Panoramas et synthèses 8 (1999), 187-234

Résumé :
Décrire le système dynamiquedéfini par une fonction holomorphe, c'estétudier le comportement des orbites obtenues après itération decette fonction et décrire comment celles-ci sont distribuéesdans le plan. Le cas le plus simple non trivial est le cas despolynômes d'une variable complexe de degré 2 qui estl'objet de ce texte.Cet article comporte trois paragraphes. Le premier est unsurvol de la théorie élémentaire duplandynamique d'un polynôme et de l'espacedes paramètres de lafamille des polynômes quadratiques. Le second paragrapheest consacré aux aspects hyperboliques, autour duthéorème de Jakobson. Le troisième paragraphe décritles aspects quasi-périodiques, liésà des problèmes de petits diviseurs.

Mots-clefs : Ensemble de Julia, ensemble de Mandelbrot, application àallure polynomiale, renormalisation, hyperbolicité,linéarisabilité, fonction de Brjuno, compact invariant, hérissons,anneaux de Herman

Abstract:
Dynamics of quadratic polynomials
The study of the dynamical system associated to aholomorphic function consists of two aspects: behaviour of theorbits under iteration of this function and description of their distributionin the complex plane. The simplest nontrivialcase is the case of quadratic polynomials in one complex variable.These form a family, the study of which is the subject of thisarticle. The text is divided in three parts. The first one is asurvey of the elementary theory of the dynamical plane of apolynomial and of the parameter space of quadratic polynomials.The second one is devoted to hyperbolic aspects, aroundJakobson's Theorem. The third one is a description ofquasiperiodic aspects, linked to small divisors problems.

Keywords: Julia set, Mandelbrot set, polynomial likemapping, renormalization, hyperbolicity, linearizability, Brjunofunction, invariant compact, hedgehogs, Herman rings

Class. math. : 58Fxx, 34Cxx, 30Fxx


ISBN : 978-2-85629-078-1
ISSN : 1272-3835