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Séminaires et Congrès - Parutions - 12 - pages 179-213

Parutions12

Formes modulaires et transcendance - Colloque $\mbox {\font \EuScriptb =eusb10 \EuScriptb JEUNES}$
Stéphane Fischler - Éric Gaudron - Samy Khémira (Éd.)
Séminaires et Congrès 12 (2005), xiv+271 pages
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Théorème stéphanois et méthode des pentes
Philippe Graftieaux
Séminaires et Congrès 12 (2005), 179-213
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Résumé :
Ce travail porte sur la conjecture de Mahler-Manin, démontrée en 1996 par Barré et al. , et dont l'énoncé est le suivant: la fonction analytique dont le développement de Laurent est donné par le développement de Fourier à l'infini de la fonction modulaire prend des valeurs transcendantes en tout nombre algébrique. On donne de ce résultat une preuve plus intrinsèque que la preuve originale, en utilisant d'une part le formalisme de la méthode des pentes de Bost, qui consiste à utiliser la géométrie d'Arakelov dans une preuve de nature transcendante, et d'autre part la modularité grâce à l'emploi de la hauteur de Faltings.

Mots clefs : Fonction modulaire, transcendance, géométrie d'Arakelov, méthode des pentes, hauteur de Faltings

Abstract:
The Mahler-Manin conjecture and the slope method
In this work, we are interested in the Mahler-Manin conjecture, proved in 1996 by Barré et al . This theorem asserts that the analytic function whose Laurent series is given by the Fourier series of the modular function takes transcendental values on algebraic numbers. We give for this statement a proof that is more intrinsic that the original one, using the slope theory of Bost, consisting of using Arakelov geometry in transcendence proofs, as well as modularity, using Faltings' height.

Key words: Modular function, transcendence, Arakelov geometry, slope theory, Faltings' height

Class. math. : 11J91, 14G40


ISBN : 2-85629-176-7
ISSN : 1285-2783