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Panoramas et synthèses

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Panoramas et synthèses - Titles - 8 (1999) 97-185

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Dynamique et géométrie complexes
Dominique Cerveau, Étienne Ghys, Nessim Sibony et Jean-Christophe Yoccoz  (notes rédigées par Marguerite Flexor)
Panoramas et synthèses 8 (1999), 234 pages
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Presentation, Summary

Dynamique des applications rationnelles de P^k
Nessim Sibony
Panoramas et synthèses 8 (1999), 97-185

Résumé :
On se propose d'exposer les premierséléments d'une théorie de Fatou-Julia pour lesapplications rationnelles dans P^k. On considèreessentiellement les aspects utilisant la théorie dupluripotentiel.Étant donnée une application rationnelle dominantef:P^kP^k, on définit l'ensemble de Juliaassocié àf. On introduit ensuite un courant T de bidegré (1,1)positif fermé dont les propriétés : invariance, support,régularité, donnent des informations sur la dynamique de f.Le second chapitre est consacré à l'étude desbiholomorphismes polynomiaux réguliers de C^k: pointspériodiques, entropie, mesure ergodique définie commeintersection de courants, variétés stables, domaines deFatou-Bieberbach.Au dernier chapitre on traite du cas des endomorphismesholomorphes de P^k. Le support de T concide avecl'ensemble de Julia. La mesure :=T^k est mélangeanteet maximise l'entropie.

Mots-clefs : Dynamique holomorphe, ensembles de Julia dansP^k, courants invariants, théorie du pluripotentiel,domaines de Fatou-Bieberbach, hyperbolicité dynamique

Abstract:
Dynamics of Rational maps onP^k
We present the basics of a Fatou-Julia theory forrational maps on P^k. We essentially consider the aspectsinvolving pluripotential theory.Let f:P^kP^k be a dominant rational map. Afterdefining the Julia set of f, we introduce a positive closedcurrent T of bidegree (1,1) associated to f. Theproperties of T: invariance, support, regularity giveinformations on the dynamics of f.Chapter 2 is devoted to the study of regular polynomialautomorphisms ofC^k: periodic points, entropy, ergodic measure obtainedas an intersection of positive closed currents, stable manifolds,Fatou-Bieberbach domains.In the last chapter we consider the case of holomorphicendomorphisms of P^k. The support of T coincideswith the Julia set and the measure :=T^k is mixing andof maximal entropy for f.

Keywords: Holomorphic Dynamics. Julia sets inP^k,Invariant currents, Pluripotential Theory, Fatou-Bieberbachdomains, Dynamic hyperbolicity

Class. math. : 58F23, 32H50, 58F15, 58F11